Решение комбинаторных задач. 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

  1. Обобщить и систематизировать основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.
  2. Обращать внимание на грамотность использования комбинаторных формул, развивать у учащихся умение логически мыслить.
  3. Воспитывать любознательность, интерес к предмет, используя исторические материалы

Оборудование: Компьютер, проектор, карточки для самостоятельных работ

Ход урока

I. Оргмомент

II. Повторение

Вопросы 1

  • Что изучает комбинаторика?
  • Дайте определение факториала
  • Назовите основные понятия комбинаторики
  • Дайте определение размещении
  • Дайте определение перестановки
  • Дайте определение сочетании

2.Вычислите устно: А)2! Б)5! В)Р3 Г)А52 Д)С63

III. Решение задач

У Партоса есть сапоги со шпорами и без шпор, четыре разные шляпы и три разных плаща

Сколько у него вариантов одеться по разному, чтобы удивить соседей и знакомых. Составить дерево возможных вариантов.

Ответ 2*4*3=24

Задача 2

Подсчитать, сколько существует различных способов рассадить четырех музыкантов на четыре мест в басне Крылова “Квартет”

Проказница-Мартышка,
Осел
Козел
До косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет…

Начали музыканты играть – не получается

– Стой, братцы, стой! –
Кричит Мартышка, – погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…

И так и этак пересаживались – музыка на лад не идет

Тут пуще прежнего пошли у них раздоры
И споры
Кому и как сидеть…

Отв: Число перестановок из четырех музыкантов по 4 места будет

Р4=А44=1*2*3*4=24

IV. Самостоятельная работа

Вариант 1

  1. Сколько трехбуквенных слов можно образовать из букв слова “АРБУЗ” (Отв: А53=5*4*3=60)
  2. Сколько различных слов, даже бессмысленных можно образовать, представляя буквы “АРБУЗ” (Отв:Р5=1*2*3*4*5=120)
  3. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2;4;6;7;9 ( ОтвА52=5*4=20
  4. Вычислить С73 (ответ С73==35)
  5. В меню столовой предложены на выбор 3 первых,5 вторых и 4 третьих блюда.Сколько различных вариантов обеда, состоящего из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню ( отв 3*4*5=60)

Вариант 2

  1. Сколько трехбуквенных слов можно образовать из букв слова “ПЕРСИК” ( Отв А63=6*5*4=120)
  2. Сколько различных слов, даже бессмысленных, можно образовать представляя буквы “ПЕРСИК” (отв: Р6=1*2*3*4*5*6=720)
  3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2;3;4;5;6 (Отв А53=5*4*3=60)
  4. Вычислите С62 ( отв С62==15)
  5. Андрей, Борис, Виктор, и Григорий после возращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому из своих друзей по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено? (ответ3*4=12)

V. Физминутка: Упражнение на глаз

Посмотрите на указательный палец.

Удаленный, с глаз на расстояние 25-30 см на счет 4

1-2-3-4

Теперь приведите зорь, вдаль досчитав до 6-ти.

1-2-3-4-5-6

Попробуем повторить.

Посмотрите на указательный палец.

Удаленный, с глаз на расстояние 25-30см на счет 4.

1-2-3-4

Теперь приведите зорь, вдаль досчитав до 6-ти

1-2-3-4-5-6

В среднем темпе проделайте 3-4 круговые движения в правую сторону

1-2-3-4

Столько же левую в сторон

VI. Исторический материал

Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 – 14.11.1716) – всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве". В своём сочинении Лейбниц ввел специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними. В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение. В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики.

Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов. В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы. Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. В работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок.

VII. Разгадывание кроссворда

По горизонтали:

  1. Как называется раздел математики в котором изучается вопросы о том сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из данных объектов?.
  2. Назовите ученного которому принадлежат замечательные достижения в области комбинаторики.
  3. Как называется размещения из m элементов по n.

По вертикали:

  1. Как называется символ! в комбинаторике?
  2. Соединения, различающихся либо порядком, либо самими элементами.
  3. Соединения, различающихся друг от друга по крайней мере одним элементом.

Ответы:

VIII. Домашнее задание: Составить свое генеалогическое дерево

IX. Итог урока. Рефлексия

Расскажите о нашем уроке
Сегодня я узнал…
Было интересно…
Было трудно…

Литература:

  1. А.Я. Яколев Математика забавно”
  2. Журнал “Башкы”№3(9) 1994г
  3. Приложение к газете 1 сентября 2001 №9
  4. Журнал “ Математике в школе 2005 №3