Урок-практикум по теме "Урок одной задачи. Решение тригонометрических уравнений разными способами"

Цель:   обобщить, систематизировать и сформировать прочные знания и умения по данной теме, используя задания разного уровня  сложности;  организовать деятельность обучающихся по распознаванию и  решению  ключевых задач.

Задачи:

• Формировать:
  • навыки коллективной деятельности;
  • умение выполнять взаимопроверку, самопроверку;
  • объективную самооценку своих знаний.
• Проверить:
  • степень усвоения темы;
  • умение распознавать и применять знания всех приемов решения тригонометрических уравнений на примере одного уравнения.
• Развивать:
  • умение объяснять, аргументировать свое решение, убедительно и обосновано   доказывать свою точку зрения;
  • умение строить аналогии, обобщать и систематизировать;
  • умение рефлексировать;
  • интерес к  изучению математики.
• Воспитывать:
  • ответственность и трудолюбие;
  • коммуникативность и толерантность;
  • уважительное отношение друг к другу.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются на уроке

На уроке-практикуме  обучающиеся рассаживаются за столом по 4-6 человек друг против друга, «глаза в глаза». Исходя из целей, задач урока и уровня класса, группы могут формироваться, как одноуровневые, так и разноуровневые. Консультанта в каждой группе может назначать учитель или сама группа. Карточки-задания для групп могут быть разных вариантов с разным уровнем требований к математической подготовке. В группах идет обсуждение и поиск путей решения, работа с информационными источниками (учебники, справочники, конспекты уроков).

Проверка выполнения работы может выполняться по разному:

– представители от групп работают за закрытой доской;
– каждой группе дается образец решении для самопроверки.

План урока

1. Организационный момент
2. Повторение  материала
3. Работа в группах
4. Тестирование
5. Домашнее задание
6. Итог урока

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Сообщение темы, цели и плана урока; правила работы в группах; критерии самооценки.

2. Актуализация знаний

Обучающий блок тригонометрических уравнений

– Решая тригонометрическое уравнение, к чему мы стремимся в  конечном итоге?
– Какие частные случаи мы выделяем среди простейших  тригонометрических уравнений?
– Какие виды тригонометрических уравнений мы рассмотрели и каковы способы их решения?

Обучающиеся, не решая уравнений,  сообщают, каким способом, по их мнению, следовало бы решить каждое уравнение. Ответы обсуждаются в быстром темпе.

3. Проверочная работа  

Блок уравнений:

1. 2 cos² x + 3 cos x + 1 = 0; 
2. 3sin x = 2 cos²x;       
3. 2 cos²3x + sin 3x – 1 = 0;
4. (sin x – 0,5) (sin x + 1) = 0;
5. tg³х – tg²x – 3tg x + 3 = 0;
6. tg x – 15/tg x = 2;
7. sin 2x cos x + 2 sin³x = 1;
8. cos x +  sin x = √2;
9. 8 sin x – 6 sin x cos x + 3 cos x – 4 = 0;
10. cos² x = 1;
11. cos² πx + 4 sin πx + 4 = 0;      
12. cos (2x –  π/4) = –1;
13. 3 sin x + 4 cos x = 2.

4. Работа в группах

sin x + cos x = 1         (*)

Каждая группа,  получив задание,  обсуждает и решает уравнение (*) своим способом,  а затем начинается защита своего способа решения у доски. Один из членов группы выносит решение на доску, остальные учащиеся внимательно слушают, затем оформляют решение в тетрадь. 
Учащиеся учатся объяснять своё решение грамотным   математическим   языком; учатся работать с аудиторией.

I способ. Введение вспомогательного угла

Разделим обе части уравнения на √2:

sin x + cos x = 1 | √2.
 sin x +  cos x =  ,  или
сos  sin x + sin cos x =,
sin (x +  ) =,
x +   = (–1)ⁿ arcsin +  πn,  n є Z,  т.е.
х = –  + (–1)ⁿ  +  πn, n є Z.
Ответ:  х = –  + (–1)ⁿ  +  πn, n є Z.

II способ. Введение выражений для  sin α и  сos α через tg   по формулам:

sin α = 2tg / 1 + tg² ,  cos α = 1– tg² /  1 + tg² .                   (1)

Обращение к функции    tg x/2 предполагает, что cos x/2 ≠ 0, то есть х ≠ π + 2πn,  где n є Z.

Итак, по формулам (1) из исходного   уравнения (*)   получаем:

2 tg x/2 / 1 + tg² x/2  +  1 – tg² x/2  /  1 + tg² x/2 =1.
Отсюда 2 tg x/2 + 1 – tg² x/2 = 1 + tg² x/2,
2 tg x/2 – 2tg² x/2 = 0 | : 2.
tg x/2 ( 1 –  tg x/2) = 0,
tg x/2 = 0  или   tg x/2 = 1.

Если  tg x/2 = 0, то  x/2 = πn,  n є Z, и тогда х =  2πn,  n є Z.
Если  tg x/2 = 1, то  x/2 = π/4 + πk,  k є Z, или  х = π/2 + 2πk,  k є Z.

Ответ:  х =  2πn,  х = π/2 + 2πk,   n, k є Z.

III способ. Сведение к одному уравнению

Выразим sin x, cos x и 1 через функции половинного аргумента:

2 sin x/2 · cos x/2 + cos² x/2 – sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2, 
2 sin x/2 · cos x/2 – 2sin² x/2 = 0 | : 2 cos² x/2,
tg x/2 – tg² x/2 = 0,  или tg x/2 (1– tg x/2) = 0.

Если  tg x/2 = 0, то x/2 = πn, n є Z.
Если  tg x/2 = 1, то x/2 = π/4 + πk, k є Z.

Ответ:  х =  2πn,  n є Z,  х = π/2 + 2πk,    k є Z.

IV способ. Преобразование суммы в произведение

Выразим cos x через sin (π/2 – x):

sin x + sin (π/2 – x) = 1,
2 sin (x+  π/2 – x): 2 · cos (x–  π/2 + x): 2 = 1,
2 sin π/4 · cos ( x –   = 1 или √2 cos (x –  π/4) = 1.

Тогда  cos (x –  π/4) = √2/2  и  х – π/4= ± arccos √2/2 + 2πn,  n є Z, x =  π/4 ±  π/4 + 2πn,  n є Z.

Ответ:  х =  2πn,  n є Z, х = π/2 + 2πn,    n є Z.   

V способ. Применение формулы sin x + cos x = √2 sin (x + π/4)

√2 sin (x + π/4) = 1 | : √2.
sin (x + π/4) = 1/√2,
x + π/4 = (–1)n arcsin 1/√2 + πn,   n є Z.

Ответ: x = – π/4 + (–1)n  π/4 + πn,   n є Z.

VI способ. Возведение в квадрат обеих частей уравнения (*)

(sin x + cos x)² = 1,
2 sin x · cos x + 1 = 1,
2  sin x · cos x = 0 | : 2,
sin x = 0  или  cos x = 0.

Если sin x = 0, то x= πn,    n є Z.
Если cos x = 0, то x= ± π/2 + πk,    k є Z.

Этот способ требует отбора решений.
Из серии чисел  x= πn решением будет серия  x = 2 πn, а серия x = π + 2πn, (n є Z) – постороннее решение.
Из серии чисел х= ± π/2 + πk серия  х= π/2 + πk – решение, а серия х= – π/2 + 2πk – постороннее решение.

Ответ: x = 2πn,  n є Z, x= π/2 + 2πk,   k є Z.

VII способ. Замена  cos x выражением  ± √1 – sin² x:

sin x ± √1 – sin² x = 1,
±  √1 – sin² x = 1 – sin x,
1 –  sin² x = (1 – sin x)² ,
(1 – sin x) (1 + sin x) – (1 – sin x)² = 0,
(1 – sin x) (1 + sin x – 1 + sin x) = 0,
2(1 – sin x) sin x = 0,
sin x = 1  или sin x = 0.

Если sin x = 1, то x = π/2 + 2πn,    n є Z.
Если sin x = 0, то x = πk,    k є Z.
Из серии  x = πk  решением является только x = 2πk.

Ответ: x =  π/2 + 2πn,  n є Z, x = 2πk,   k є Z.

4.  Самостоятельная работа (в двух вариантах)

I вариант

№ 1.    Решить уравнение:   cos 0,5x = – 1 .
№ 2.    Решить уравнение:   .
№ 3.    Решить уравнение:   2 cos²x = 3 sin x .

II вариант

№ 1.    Решить уравнение:   sin 0,5x = – 1 .
№ 2.    Решить уравнение:   .
№ 3.    Решить уравнение: 2 sin²x – 5 = – 5 cos x .

5.  Домашнее задание

Выполнить уравнения, способы решения которых рассматривали в начале урока (Обучающий блок тригонометрических уравнений)

6. Итог урока (Приложение 1)

Описание проверочных работ для учащихся по теме урока
В качестве проверочных работ по данной теме очень хорошо использовать задания самостоятельных работ С -39 – С-42, а  так же С- 43*, С-44*, предложенных в 4-х вариантах  в книге «Дидактические материалы. Алгебра и начала математического анализа. 10.» М.К. Потапова, А.В. Шевкина. – М.: Просвещение, 2010.
Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме.
На таком уроке – практикуме успешно реализуются как учебные, так и воспитательные цели образовательного процесса, обеспечивающие: высокий уровень усвоения учебного материала; активность учебного процесса; развитие обучающихся через совместную коллективную деятельность.
А самоконтроль и взаимоконтроль с последующей самооценкой своих знаний и умений играет важную роль в развитии ребенка, формировании положительной «Я-концепции».
Учитель же имеет возможность формировать характер общения в процессе взаимодействия «учитель и учащийся», «учащийся и учащийся», развивать коммуникативность и толерантность, умение и желание сотрудничать с другими людьми, что очень в будущем.