Решение нестандартных задач повышенной степени сложности

Цель урока: рассмотреть различные методы решения олимпиадных задач.

Задачи урока:

• показать возможность решения сложных задач, зная основные методы и приемы решений задач;
• решить задачу, предложенную на олимпиаде ИТМО (4 балла);
• воспитывать умение работать в команде;
• развивать интерес к математике.

Вид работы учащихся: командный.

Оборудование: проектор, компьютер, презентация к уроку, раздаточный материал.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Класс разбивается на 2 команды. В каждой команде выбирается капитан, который определяет, кто из участников будет отвечать на поставленный вопрос, объяснять у доски решенную задачу, в конце урока определяет степень участия в работе каждого участника команды
На столе у каждой команды лежит раздаточный материал к уроку:

• Задачи, которые будут решаться в ходе урока
• Памятка, что нужно для успешного решения олимпиадных задач
• Черновики
• Дополнительные задачи к домашней работе (Приложение 1)

Объявляется тема урока: «Решение нестандартных задач повышенной степени сложности»

Определяется цель урока:

Наша главная цель – поступить в ВУЗ на бюджетную форму обучения. Достигнуть этой цели можно получив высокий балл на ЕГЭ или став победителем (призером) профильной олимпиады заявленной в федеральном перечне олимпиад.
На этом уроке мы будем рассматривать методы решения олимпиадных задач и задач ЕГЭ, уровень С.

II. Проверка домашнего задания

Цель: активизировать знания, полученные на предыдущем уроке. Повторить этапы построения графиков сложных функций

На доске, до урока, двумя учащимися выполняется построение графиков функций  и ,  дается описание основных моментов построения   (Приложение 2)

Дополнительные вопросы:

1) Назовите и покажите на чертеже область определения и область значений функции у₁?

2) Что является аргументом функции у (значения функции у₁)?

3) Какие ограничения нужно наложить на значения функции у₁?

4) Для каких значений аргумента график функции  не существует?

5) Опишите свойства функции  

а) область определения функции,  б) область значений, ограниченность,
б) четность (функция не является ни четной, ни нечетной).
в) симметричность (симметрична относительно прямой х=7/4),
г) промежутки возрастания и убывания функции

Учитель оценивает работу отвечающих у доски, проверяет степень выполнения домашней работы остальных учащихся.

– Прошу поднять руки у кого графики построены верно и задание не вызвало затруднений. Для тех, кто не смог справиться с домашним заданием открыта консультационная служба. (Консультанты – учащиеся, справившиеся с заданием)

III. Устная работа

Цель: На данном этапе урока нам нужно: предложить различные методы решения предложенных задач; определить основной ход решения каждой задачи; обозначить особенности, которые могут возникнуть при данном методе решения.

1. Определить методы решения уравнения. Указать используемые свойства функций 

I команда. Используем ограниченность функций. Т.к. функция у = cos(x) ограничена, то произведение равно единице тогда и только тогда, когда

 

Повторяется свойство ограниченности функций

Решить уравнение

II команда Применим метод оценки правой и левой части уравнения

Обозначим

 

Так как

Ответ:  0

Комментарии к уроку. Срабатывает  стереотип предыдущей задачи

I команда.   Применим графический метод  решения

Построим графики функций  и

Найдем их точки пересечения. Такая точка только одна

Повторяем графики элементарных функций  и . Вспомнили преобразование графика y = f(x) + a

2. Сколько решений, в зависимости от величины параметра а имеет уравнение

II команда.Предлагаем рассмотреть функцию   и построить ее график. Графики функций  и  строили дома

Вопрос. Можно ли складывать графики функций?

Идет обсуждение, вопроса как сложить два графика.

Учитель задает наводящие вопросы:

• Что такое функция?
• Дайте определение  функции?
• Каким объектом является аргумент числовой функции?
• Каким объектом является значение числовой функции?

Выясняем, что каждому значению аргумента из области определения первой функции ставится в соответствие только одно значение функции y₁. Каждому значению аргумента из области определения второй функции ставится в соответствие только одно значение функции y₂. y₁ и y₂ – числа. А числа можно складывать! Значит, на пересечении областей определений первой и второй функций каждому значению аргумента можно поставить в соответствие числовое значение y₁ + y₂. Таким образом, графики можно складывать!

Запускаем Advanced Grapher (Приложение 3)

(Скачать программу для построения графиков функций можно по адресу: http://freesoft.ru/?id=5558  или  http://www.softportal.com/software-1244-advanced-grapher.html)

Открываем файл, в котором построены графики функций  ,   и , заданы области определения функций. (При наличии времени учащиеся сами строят график функции )

Учащиеся дорешивают задачу до конца, проговаривая граничные значения точек, не вычисляя их значений.

Ответ:     

 

 

 

 

 

3. Найдите множество значений функции  

II команда.

• Найдем область определения функции.
• Обозначим у = a.
• Рассмотрим полученное уравнение c параметром как квадратное
  относительно переменной x
• Найдем, при каких значениях параметра а,  уравнение имеет  решения

5.  Квадратное уравнение имеет решения, если (Презентация, слайд 10)

I команда.

Будем решать, используя графический метод

• Найдем область определения функции.
• Построим график функции
• E(y )= [yнаим.; yнаиб.]

 

Строим график в Advanced Grapher

Заодно, повторяем, что такое асимптота, максимум функции, точка максимума.

Визуально виден ответ:   D(y) = (–1/2;4]                                      (Презентация, слайд 11)

Обсуждаем «плюсы» и «минусы» предложенных методов.

Графический метод: Для построения графика необходимо исследовать функцию. Долго. На олимпиаде произойдет потеря времени

Комментарии к уроку. Дома будут решать I способом. Так легче и надежней. Только вот при решении квадратного уравнения накладывается условие и –1/2 и 4 включаются в ответ. А по графику видно, что  –1/2 не является решением! Подсказывать не буду, пусть помозгуют сами. (Квадратное уравнение с параметром не всегда квадратное! При а = – 1/2 получается линейное уравнение, которое не имеет решений)

Ребята устали. Нужна небольшая пауза.  Релаксация

– Хотите решить еще одну задачу?
Показываю слайд с «убегающей» кнопкой «нет». (Приложение 4)
Глаза при перемещении кнопки отдыхают.
Посмеялись, отдохнули, и снова в путь…

IV. Домашнее задание

• Решить разобранные уравнения 1, 2, 3, 4
• Грамотно и аккуратно оформить решение
• Решить уравнение подобное тому, которое будет разобрано в классе.
• Дополнительное задание (для желающих) – решить задачи 5, 6, 7

(Подсказка: вспомните определения arcsin, arccos, arctg, графики этих функций, их свойства)

V. Основная задача урока:

Решить уравнение при всех допустимых значениях параметра b
(В ответ записать только решения уравнения без соответствующих параметров b)

Цель: Решить уравнение с параметром

1. Записываем уравнение в тетрадь. Пока пишем – думаем, что можно сказать о правой и левой частях уравнения.
2. На доске все уравнение записано в средней части доски. На откидных крыльях: слева – левая часть уравнения, справа – правая часть уравнения
Рассмотрим левую часть уравнения:

I команда.

Левая часть уравнения – сумма двух ограниченных функций. Можем ее оценить

Участником I команды производится запись на доске  (остальные учащиеся – в  тетрадях)

II команда.Правая часть уравнения – не зависит от переменной х. Можно рассмотреть ее как функцию от b.

– Хорошо бы ее оценить. Наложим условие

Рассмотрим функцию

Графиком функции является парабола,  ветви направлены вверх, вершина в точке х₀ = 4 y₀ = 4

Для b [2; 6]               E[y] = [0; 4]

 

Участником II команды производится запись на доске  (остальные учащиеся – в  тетрадях)

На крыле слева – оценка левой части уравнения,
На крыле справа – оценка правой части уравнения
В центре доски записываем итог наших рассуждений

При каких значениях b  правая часть равна 8? (При b = 4)
Чем большее значение вычтем из12, тем меньше получим.
При каком значении  b  y(b) принимает наибольшее значение? При b = 4
Таким образом, только при b = 4 наше уравнение имеет решение
Подставим b = 4 в левую часть уравнения. Тогда

При каких значениях косинусов А = 8?

В силу ограниченности функции y=cos x решение возможно только при условии

I команда решает уравнение (1)
II команда решает уравнение (2)
Решение записываем на доске

Почему n и k не могут принимать отрицательных значений? (Левая часть уравнения неотрицательна, значит и правая часть, тоже неотрицательна)

Возводим левую и правую части уравнений в квадрат

                      

Теперь найдем зависимость между n и k.
n и k целые – задача сводится к решению уравнений в целых числах.
Ребята предлагают представить левую  и правую части равенства в виде произведения.
Затем, рассмотреть возможные комбинации произведений.
Можно предложить учащимся другой метод.     Еще раз оценить использовать метод оценок.

Оценим левую  и правую части равенства

Так как    n = 0; 1; 2; …  , то  n может принимать только значения 0 и 1. Тогда

при   n = 0                  х = 6
при   n = 1                  х = – 2

Ответ: {– 2;  6}

Подведение итога данного этапа урока
Данная задача предлагалась на олимпиаде по математике ИТМО в 2010 году. Оценивалась максимальным количеством баллов. Вы с ней справились за 20 минут. Молодцы!
Давайте еще раз проговорим основные идеи и ход решения задачи. (Презентация, слайд 20)

VI. Подведение итога урока

Дать слово для оценки работы участников группы капитанам.
Сегодня на уроке вы решали не просто задачи из учебника – задачи повышенной сложности, которые предлагались на олимпиаде по математике СПБ ИТМО. Вы замечательно справились с решением довольно сложных задач! Показали высокий уровень своих знаний. Молодцы! Определить стратегию решения задачи, продумывать решение сложных задач – это здорово и увлекательно. Но … Чтобы получить высокий балл на ЕГЭ, очень важно правильно и грамотно оформить их решение. Постарайтесь дома выполнить это задание на «отлично»!
Спасибо вам за урок! Молодцы!