Подготовка учащихся 10–11-х классов к итоговой аттестации по теме "Производная"

Разделы: Математика

Одним из важнейших вопросов, способствующих достижению глубоких и прочных знаний у учеников,  является вопрос о повторении ранее пройденного материала. Он должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала, который в свою очередь, должен обогащать и расширять ранее изученные понятия.

"Обучение нельзя довести до основательности без возможно более частых и особенно искусно поставленных повторений и упражнений", — говорил Каменский.

Повторение учебного материала по математике должно осуществляться на протяжении всего учебного процесса: при актуализации знаний — на этапе подготовки и изучения нового материала, при формировании учителем новых понятий, при закреплении изученного ранее, при организации самостоятельных работ различных видов, при проверке знаний учащихся, при подготовке к ЕГЭ.

Опыт работы в профильных классах гуманитарного направления показывает, что большинство учащихся, приходящих в эти классы, не обладают глубокими и прочными математическими знаниями, не мотивированы на изучение данного предмета. Для таких учащихся главное – это набрать минимальный аттестационный балл, а учителю необходимо добиться от учеников безошибочного, максимально надежного выполнения как можно большего количества заданий из первой части.

Тема «Производная» вызывает у большого количества учащихся страх, выстраивается психологический барьер: «я это не решу», так что слабый ученик  попросту пропускает подобные задания. Поэтому целью данной работы является разработка методики организации повторения по  теме «Производная» с тем, чтобы упорядочить и систематизировать полученные учащимися знания, отработать определенные алгоритмы выполнения заданий базового  уровня сложности, помочь преодолеть неуверенность в своих силах.

Характеристика заданий базового уровня сложности

Задание В8

1. На рисунке изображены график функции y = f(x)  и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

а) б)

Тип задания. Задание на вычисление производной.

Характеристика задания. Задача на вычисление производной по данным приводимого в условии рисунка, представляющего собой изображенные на клетчатой бумаге график функции и касательную к нему. Задания отличаются углом наклона касательной к положительному направлению оси Ох, расположением графика функции и точки касания  в координатной плоскости. Иногда на рисунке может быть изображен график функции, а касательная задана описанием. Метод решения от этого не меняется и основывается на геометрическом смысле производной.

Комментарий для учащихся. Решение задачи состоит в вычислении углового коэффициента касательной, т.е. тангенса угла, который она образует с положительным направлением оси абсцисс.
Основная формула: , где α – угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох.

Алгоритм решения:

  1. Определить вид угла (острый или тупой) между касательной и положительным направлением оси абсцисс. Если угол тупой поставить знак «-».
    (Для некоторых учащихся проще определить знак по возрастанию или убыванию функции на промежутке, где находится точка касания).
  2. Найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток.
  3. Считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение вертикального катета к горизонтальному катету.

Хорошим помощником в отработке навыков решения подобных заданий является наглядное выполнение пунктов алгоритма с помощью презентации в Power Point (См. Приложение 1, слайды 1-4).

2. На рисунке изображен график y = f´(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 2x - 2 или совпадает с ней.

3. Прямая y = 7x - 5 параллельна касательной к графику функции y = x2 + 6x - 8. Найдите абсциссу точки касания.

4. Прямая y = -4x - 11  является касательной к графику функции y = x3 + 7x2 + 7x - 6. Найдите абсциссу точки касания.

Тип заданий №2-4. Задание на вычисление значения аргумента по заданному значению функции.

Характеристика задания. Задача на нахождение  абсциссы точки, ордината которой  - это значение производной функции. Производная функции может быть задана с помощью графика или ее необходимо найти по аналитически заданной функции. Прямая у = kx + b либо сама является касательной к графику функции, либо параллельна ей.  Метод решения этих типов задач также основан на геометрическом смысле производной и на условии параллельности двух прямых. В этом типе заданий встречаются задачи с параметром в функции, представляющей  собой квадратный трехчлен. Эти задания  учащимися воспринимаются как более сложные,  хотя алгоритм решения остается прежним. Их целесообразно оставить для итогового обобщающего повторения.

Комментарий для учащихся. Для того, чтобы прямая у = kx + b  являлась касательной к графику функции f(x) в точке х0, необходимо  и  достаточно, чтобы: а) значения обеих функций при х = х0 совпадали;  б) k = f´(x).
Графики  прямых  у = k1x +b1  и  y = k2x + b2 параллельны или совпадают  при условии k1= k2.
Алгоритм решения задачи №2  проиллюстрировано на слайде 5 (См. Приложение 1).

Решение №3

  1. Найдем производную функции: у´ = 2х + 6;
  2. Приравняем производную к коэффициенту k: 2х + 6 = 7; х = 1/2.

Ответ: 0,5.

Решение №4

Решая второе уравнение, получаем х1= -1; х2=
Проверим, является ли -1 корнем первого уравнения: -1+7-11+5=0 – верно.
Ответ: -1.

Замечание: учащимся полезно напомнить, что решение каждого задания части В  должно быть записано либо в виде целого числа, либо в десятичной дроби; двух ответов быть не должно, следовательно, второй корень уравнения можно не проверять уже потому, что его нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

5. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

6. На рисунке изображен график y = f´(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму их длин.

7. На рисунке изображен график функции y = f´(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

8. На рисунке изображен график y = f´(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3;2] функция f(x) принимает наибольшее значение.

Тип задач № 5-8. Задание на чтение графиков функции.

Характеристика задания. Задание, в котором из графической информации о поведении производной  функции нужно получить информацию о самой функции и наоборот. Это задание требует от учащихся знаний о свойствах функций, умения «читать» эти свойства на графике, а также интерпретировать свойства  функции на свойства функции-производной и обратно.

Комментарий для учащихся. Сопоставить свойства самой функции  и ее производной  удобно в виде таблицы (См. Приложение 2).

Решение задач №5-№8 проиллюстрировано с помощью слайдов 6-9 (См. Приложение 1).

9. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -t4 + 6t3 + 5t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

10. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) =  t3 - 3t2 - 5t + 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Тип задач № 9-10. Задание на вычисление производной функции.

Характеристика задания.  Метод решения заданий этого типа основаны на механическом смысле производной. Они включают в себя прямую  задачу, когда необходимо найти скорость по заданному моменту времени, и сводится к нахождению значения функции по заданному значению аргумента, а также обратную задачу, в которой требуется найти момент времени,  в который скорость принимает заданное значение. Вэтом случае нужно решить получившееся уравнение (линейное  или  квадратное).

Комментарий для учащихся.  Механический смысл производной  состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость: v(t) = x´(t), производная от скорости по времени есть ускорение:  a = v´(t).

Решение №9:

  1. Найдем производную функции, задающей закон движения:
    x´(t) = - 4t3 + 18t2 + 5;
  2. Найдем значение производной при t=3:
    x´(3) = -4∙33 +18∙32 + 5 = -108 +162 + 5 = 59.

Ответ: 59.

Решение №10:

  1. Найдем производную функции:
    x´(t) = t2 - 6t – 5.
  2. По условию v(t) = x´(t) = 2. Подставим это значение в левую часть равенства:
    2 = t2 – 6t – 5,
    t2 – 6t – 7 = 0.
  3. Решим получившееся квадратное уравнение: t1 = 7, t2 = -1. По смыслу задачи (t ≥ 0) t = 7.

Ответ: 7.

Задание В14

Тип задания. Задание на исследование функции.

Характеристика задания.  Задание на нахождение точек экстремума, экстремумов, наибольших и наименьших значений функций, заданных аналитически,  с помощью производной. Задания содержат все шесть функционально-числовых линий школьного курса: целые рациональные функции (многочлены); дробно-рациональные; иррациональные; тригонометрические; показательные; логарифмические функции. Алгоритм решения принципиально не меняется. Правильное решение этих заданий невозможно без знания формул и правил дифференцирования, уверенных  навыков вычисления производных. Отработку этих навыков можно включать в вводное, тематическое, сопутствующее повторение, а также в виде устного счета при повторении не связанном с темой урока. Формы такого повторения также могут быть различными: математические диктанты; задания «найди ошибку»; самостоятельные работы, задания для домашней работы.

Комментарий для учащихся. Необходимое общее условие для всех функций – их непрерывность. Если у функции можно посчитать производную, то функция непрерывна. Остальная необходимая информация может быть почерпнута из представленной выше таблицы.

11. Найдите точку минимума функции  y = 3x - ln(x+3)3.
Пошаговое решение представлено на слайдах 10-11.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции удобно представить в виде схемы на слайде 12 (См. Приложение 1).

Формы работы при различных видах повторения
Задания для устной работы (См. Приложение 3)

Эти задания можно использовать при всех видах повторения.

Замечание: в примерах 7-11функции нужно привести к виду у = хp,в примерах 12,13 преобразовать в многочлен, в 21-23 примерах увидеть формулы тригонометрии.

№32 По графику функции y = f(x) ответьте на вопросы:

  1. Сколько точек имеет эта функция, в которых касательная параллельна оси Ох?
  2. В какой точке графика производная не существует?
  3. Назовите наименьший из промежутков, где производная функции отрицательна.

Ответы: 1) 3; 2) х1; 3) (х1;х2).

№33 По графику функции y = f´(x) ответьте на вопросы:

  1. Сколько точек максимума имеет эта функция?
  2. Назовите точки минимума функции?
  3. Сколько промежутков возрастания у этой функции?
  4. Найдите длину промежутка убывания этой функции?

Ответы: 1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 4.

№34 На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

а) б)
  Ответ: 1,5   Ответ: -0,25

Начиная изучение темы «Первообразная», задания на механический смысл производной логично включить в качестве сопутствующего повторения при актуализации  знаний.

№35 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 4t - 20, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Ответ: 6.

№36 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + t + 26, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Ответ: 5.

Тест, представленный на слайдах 13-18, (см. Приложение 1) может быть проведен на уроке «Дифференцирование показательной и логарифмической функции» в качестве текущего тематического повторения после изучения нового материала.

Самостоятельная работа (слайды 19-23) может быть предложена на уроке итогового тематического повторения в 10-м классе или в начале 11-го класса на уроках вводного повторения.

Задания для домашней работы могут быть проверены в форме «найди ошибку». Примеры таких заданий представлены на слайдах   24-26.

Для самостоятельного решения во время  итогового обобщающего повторения учащимся, проявившим интерес к данной теме, можно предложить задания с параметром.

№37 Прямая y = 3x + 4  является касательной к графику функции y = 3x2 - 3x + c. Найдите c и  абсциссу точки касания.
Ответ: 1; 1.

№38 Прямая y = 3x + 1  является касательной к графику функции y = ax2 + 2x + 3. Найдите абсциссу точки касания.
Ответ:  4.

№39 Прямая y = -5x + 8  является касательной к графику функции y = 28x2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания положительна.
Ответ: -23.

Данная статья появилась  в результате анализа моей работы в профильных классах гуманитарного направления. Подбирая задачи по теме, я попыталась систематизировать и упорядочить все типы заданий, встречающихся в Открытом банке заданий  ЕГЭ, использовать их при организации различного вида повторений: в 10-м классе для текущего, тематического повторения; в начале учебного года в 11-м классе; сопутствующего повторения, а также заключительного обобщающего и систематизирующего повторения. Учитывая слабый контингент учащихся, стремилась разработать четкие алгоритмы выполнения типовых заданий, для того, чтобы ученики могли привыкнуть к ним, поняли, что в них нет ничего сложного и, в итоге, смогли преодолеть психологический барьер при решении заданий по данной теме.

Данная работа предназначена для  учителей математики, работающих в  классах с низким уровнем математической подготовки и мотивации к изучению математики. Она призвана оказать практическую помощь коллегам в организации повторения по теме «Производная».

Список литературы

  1. Коннова Е.Г. и др. Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2012 (В7 - В14). Пособие для «чайников»; под ред Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону:  Легион-М, 2011. – 192 с.
  2. Кочагин В.В. ЕГЭ 2008. Математика. Репетитор. – М.: Эксмо,  2008. – 256 с.
  3. Лукин Р.Д. и др. Устные упражнения по алгебре и началам анализа: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1989. – 96 с.: ил.Шестаков С.А. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В14. Исследование функций. Рабочая тетрадь/ Под ред. А.Л. Семенова и  И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2012. – 80 с.
  4. Ященко И.В., Шестаков С.А., Захаров П.И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания. – М.: МЦНМО, 2009. – 128 с.
  5. http://mathege.ru Открытый  банк  заданий  ЕГЭ  по  математике.