Свойства пределов функций

Разделы: Математика

Цели урока:

- научиться решать основные типы пределов функций, раскрывать неопределённости;

- совершенствование мыслительных умений учащихся сравнивать, анализировать и обобщать;

 - формирование образовательных,   коммуникативных и информационных компетентностей для продолжения математического образования в вузах;

- формирование навыков самостоятельной работы, чувства ответственности, познавательного интереса к обучению.

 Задачи урока:

- изучить свойства пределов функций;

- отработать навыки применения данных знаний при решении примеров  различной сложности, раскрытия неопределённостей;

- отработать навыки самостоятельной работы;

- отработать навыки тестирования в режиме online;

- способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;

- воспитывать уважение к интеллектуальному труду.

Тип урока:  урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: персональные ПК (подключены к сети Интернет), МП, раздаточный материал.

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин]. - 10-е изд. – М.:Просвещение, 2011. -464 с.: ил. – (МГУ – школе).

Эпиграф:

“В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления”.
В. П. Ермаков

Ход урока

1. Оргмомент. Постановка цели урока.

2. Актуализация знаний. Подготовка к ЕГЭ. Тестирование on-line на сервисе проверки знаний учащихся http://www.diagtest.ru/ по теме “Основы тригонометрии”. Итог тестирования (Приложение 1).

3. Изучение нового материала.

Мотивирование. На первом курсе университета студенты часто сталкиваются с вопросом как решить предел функции? Решение пределов - это довольно трудный этап математического обучения который сразу встает перед Вами высокой и непробиваемой стеной, поскольку первокурсники еще не научились как следует преодолевать сложные теории. А теория пределов - это серьезная и сложная теория, без четкого понимания которой нельзя полноценно научиться решать задачи по вычислению пределов.

Лекция учителя и первичное закрепление новых знаний. (Приложение 2 – МП, Приложение 3 – раздаточный материал).

а) Свойства пределов:

Закрепление. Устно № 2.15 а), б). (с. 59)

б) Для решения пределов вспомним первый и второй замечательные пределы:

Закрепление. Доказательство (фронтально, с помощью учителя) № 2.16. а), б). (с.59)

Решение (использование подсказки – слайд № 6 ):

- самостоятельно: 1 вариант - № 2.17г), 2 вариант № 2.17и),

- у доски: 2.18 в) с. 59.

Рекомендация: если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.

в) раскрытие неопределённостей:

 

Неопреде-
лённость		 Алгебраические
преобразования
В числителе и знаменателе сложные степенные или показательные функции.

Для степенных функций – вынести за скобку в числителе и знаменателе х с наибольшим показателем степени;

для показательных функций – вынести за скобку в числителе и знаменателе наиболее быстро возрастающее слагаемое.

После сокращения дроби неопределённость устраняется.

Пример №1.

.

Старшая степень числителя и знаменателя равна 2.

 

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Можно использовать знак (*), он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:


Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Закрепление.

Пример №2.

Если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители, затем сократить и вычислить предел. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. В тригонометрических выражениях необходимо упростить выражение, чтобы привести к первому замечательному пределу.

Пример №3. , разложив квадратный трёхчлен на множители и сократив, получим

Рекомендация: если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.

Пример №4.

Если функция представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределённость устраняется или приводится к типу после приведения дробей к общему знаменателю. Если функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений (корней), то неопределённость устраняется или приводится к типу путём домножения и деления функции на одно и то же (сопряжённое) выражение, приводящее к формулам сокращённого умножения.

1 Сводится ко второму замечательному пределу (см. пример №4).

4. Итог урока: “Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию”. Ян Амос Коменский. 

Рефлексия. Незаконченные предложения. (“Микрофон”)

  1. Предел суммы функций равен (сумме их пределов).
  2. Как раскрыть неопределенность вида ? (Надо функцию разложить на множители, затем сократить и подставить а, и вычислить предел).
  3. Если функция имеет предел, то он (единственный).
  4. Предел произведения функций равен (произведению их пределов).
  5. Как раскрыть неопределенность вида ? (Числитель и знаменатель разделить на переменную в наивысшей степени).
  6. Предел постоянной функции равен (самой этой функции).
  7. Предел отношения функций равен (отношению их пределов, если предел делителя не равен 0)

5. Домашнее задание.

  1. П.2.3 (с. 56 -59), № 2.17 е), 2.18б), 2.19 а).
  2. Выполнить работу над ошибками на сервисе проверки знаний по теме “Основы тригонометрии”.
  3. Для хорошо подготовленных учащихся: рассмотреть пример №4 в приложении № 3 “Раздаточный материал”.

Источники:

www.mathprofi.ru/predely_primery_reshenii.html

http://www.diagtest.ru/