Урок по теме "Решение показательных уравнений"

Цели урока:

1) образовательные:

– повторить основные способы решений показательных уравнений;
– показать дополнительные методы решения показательных уравнений.

2) развивающие:

– развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности;
– развивать навыки самостоятельности;
– учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы.

3) воспитательные:

– воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;
– воспитывать культуру общения, умение работать в коллективе, взаимопомощи;
– воспитывать средствами математики культуру личности.

Тип урока: комбинированный.

Технологии, используемые на уроке:

– технология дифференцированного и разноуровнего обучения;
– технология обучения в сотрудничестве, индивидуально– групповая технология.

Оборудование: ПК, доска, оценочные листы, компьютерная презентация, индивидуальные карточки с заданиями.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Повторение и актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление знаний.
5. Дифференцированная самостоятельная работа.
6. Домашнее задание.
7. Итог урока. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент.

Показательные уравнения всегда были в экзаменационном материале выпускных и вступительных экзаменов. И в современных контрольно-измерительных материалах ЕГЭ эти задания присутствуют, как в первой, так и во второй частях. Поэтому всем необходимо знать основные методы решения показательных уравнений и уметь их применять при решении более сложных уравнений.

Итак, тема урока “ Решение показательных уравнений”/Слайд 1/

А эпиграфом к уроку станут слова С.Коваля: “Уравнения– это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. Т.е., другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.

Как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься на уроке, и какие вы поставите цели? (Повторить и отработать способы решения показательных уравнений).

2. Повторение и актуализация опорных знаний /Слайд 2/

1) Какие уравнения называются показательными? (Уравнения вида a^х=b при a> 0, a1, т.е. содержащие переменную в показателе степени, называются показательными)/Слайд 3/

2) Решите уравнения: /Слайды 4,5/

а) 3^х=27 (3)
б) (1/7)^х= 49 (-2)
в) 6^х·(5/6)^х=1/125 (-3)
г) 10^х+1=0,1 (-2)
д) 6^х= (1/3)
е) (4/9)^х=(3/2)^-5 (2,5)
ж) 17^х=1 (0)
з) 2^х=-8 (корней нет)
и) 3^х=1/27 (-3)

3) Взаимопроверка домашнего задания (задания разного уровня) /Слайд 6/

1 уровень “3”

1) (1/2)^14-5х=64 (4)
2) 5^4-х=25 (2)

2 уровень “4”

1) 3^х+2+4·3^х+1=21 (0)
2) 7·5^х– 5^х+1=2·5 (1)

3 уровень “5”

1) 3^2х+2·3^х-3=0 (0)
2) 2^2х+2^х-2=0 (0)

Оценки выставляются в оценочный лист.

4) Какие методы решения показательных уравнений вы знаете?

(Метод уравнивания показателей, метод вынесения общего множителя за скобки, метод введения новой переменной) /Слайд 7/

3. Изучение нового материала.

Трое учащихся рассказывают о новых методах решения показательных уравнений:

1) Метод почленного деления /Слайд 8/

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Пример. Решите уравнение 2^2х+1-7·10^х+ 5^2х+1=0

2^2х·2– 7·2^х·5^х+5^2х·5=0 (:5^2х0)
2·(2/5)^2х– 7·(2/5)^х+5=0
Пусть (2/5)^х=t, t>0
2t²-7t+5=0
Д=49-4·2·5=9
t₁=1, t₂=5/2
(2/5)^х=1, (2/5)^х=5/2
х=0, х=-1

2) Метод группировки /Слайд 9/

Этот метод заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.

Пример. Решите уравнение 3·2^2х+1/2·9^х+1– 6·4^х+1= -1/3·9^х+2

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

1/2·9^х+1+1/3·9^х+2=6·4^х+1-3·2^2х

1/2·9^х·9+1/3·9^х·9²=6·4^х·4-3·4^х

4,5·9^х+27·9^х=24·4^х-3·4^х

31,5·9^х=21·4^х (: 9^х0)

31,5= 21·(4/9)^х

(4/9)^х=3/2

(2/3)^2х=(2/3)^-1

2х=-1

х=-0,5

3) Графический метод /Слайд 10/

Пример. Решите уравнение 3^2х=10-х. Построим таблицы значений:

y=3^2х

y=10-х

Построим графики и найдем абсциссу точки пересечения. Она и будет корнем уравнения.

Ответ: 1

4. Закрепление знаний /Слайд 11/

М.В.Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения”.

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

Посмотрите на доску и укажите, каким способом решаются уравнения:

1) 3·4^х– 5·6^х+2·9^х=0 (метод почленного деления)

2) 2^х=2/х (графический метод)

3) (3^х-81)·=0 (метод разложения на множители)

4) 4^sinх+ 2^5-2sinх=18 (метод введения новой переменной)

5) 4·(1/16)^х-17·(1/4)^х+4=0 (метод введения новой переменной)

6) 5^х+3– 3·5^х+1-10·5^х=4 (метод вынесения общего множителя за скобки)

7) 2^|3х-5||=4·8^·|х+1| (метод уравнивания показателей)

8) х+6=(1/2)^х (графический метод)

9) (метод уравнивания показателей)

Задания группам– решите уравнения: /Слайд 12/

1) 2^х-2=1-х Ответ: 1

2) 9·16^х-7·12^х-16·9^х=0 Ответ: 2

3) (3^х-81)· =0 Ответ: 1 (учесть ОДЗ)

Трое учащихся выходят к доске, объясняют выбранный способ решения, показывают решение.

Оценки в оценочный лист.

5. Дифференцированная самостоятельная работа /Слайд 13/

Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что “математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед”. Поэтому будем работать самостоятельно.

Самостоятельно проверить правильность решения уравнений по ключу с ответами на доске, и поставить себе оценку в оценочный лист.

Ключ: /Слайд 14/

1 уровень “3” 1) 3; 2) 0; 3) 4; 4) 1; -1

2 уровень “4” 1 вариант: 1) 1; -2; 2) 2; 3) 1; 4) нет корней.

2 вариант: 1) -6; 2) 1; 3) 3; 4) 0.

3 уровень “5” 1 вариант: 1) 0; 2) 1; 3) 0; 2; 4) 2.

2 вариант: 1) 1; 2) 1; 3) -3; 4) -1; 0.

6. Домашнее задание /Слайд 15/

Составить тест из 5 уравнений по данной теме.

7. Итог урока 

1) Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой “золотой ключик”, с помощью которого перед вами открывались любые двери.

Достигнуты ли цели урока? Какими методами можно решать показательные уравнения?

2) Оценка работы класса и каждого ученика в отдельности, проверка оценочных листов и выставление оценок.

Презентация