Урок алгебры по теме "Функция у=aх2+bx+c, ее свойства и график". 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Тип урока:  урок изучения и закрепления новых знаний.

Цели урока:

  • Образовательные: изучить квадратичную функцию, её свойства и график, научиться находить координаты вершины параболы, ось симметрии параболы, научиться строить график квадратичной функции y = ax2 + bx + c;
  • Развивающие: способствовать развитию представлений учащихся об особенностях заданий по данной теме, предлагаемых на экзамене по математике в новой форме в 9-м классе, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания;
  • Воспитательные: воспитывать умение слушать, анализировать, соблюдать единые требования к оформлению решений, содействовать формированию познавательного интереса к математике.

Формы организации познавательной деятельности:  коллективная, индивидуальная, фронтальная, работа в парах.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация, карты с опорным конспектом по теме.

ХОД УРОКА

1. Проверка домашнего задания

2. Актуализация знаний

Повторение изученного (фронтальная работа):

– Как построить график функции y = f(x + l), если известен график функции y = f(x)?
– Как построить график функции y = f(x) + m, если известен график функции y = f(x)?
– Как построить график функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x)?
– Какой трёхчлен называется квадратным?
– В чём состоит метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена?
– Выделите полный квадрат применительно к трёхчлену x2 – 4x + 5.

Ответ:   x2 – 4x + 5 = (x2 – 4x + 4) + 1 = (x – 2)2 + 1. (Один ученик решает у доски).

Учитель:  Ребята, как вы думаете, чем сегодня на уроке мы с вами будем заниматься?

Учащиеся: Исследованием и построением графиков функций, исследованием их свойств.

Учитель: Действительно, сегодня на уроке мы будем заниматься графиком так называемой квадратичной функции, её свойствами.

3. Объяснение нового материала

(У учащихся на столах карты с опорным конспектом по данной теме).

Итак, рассмотрим многочлен y = ax2 + bx + c, где a, b, c – коэффициенты, причём a ? 0. Такой многочлен называется квадратным трёхчленом, a – старший коэффициент. Квадратный трехчлен не обязательно может состоять из трёх слагаемых. Например, 5x2 – 3x – квадратный трехчлен, у которого a = 5, b = – 3, c = 0.
Функция y = ax2 + bx + c, где a, b, c – некоторые произвольные числа, причём a ? 0, называется квадратичной функцией.
Как вы думаете, почему она так называется?

Учащиеся: Возможно потому что x в квадрате.

Учитель: Да, потому что старший член трехчлена содержит переменную x в квадрате.
– Как вы считаете, что будет являться графиком квадратичной функции?

Учащиеся: Графиком квадратичной функции является парабола.

Учитель: Да, вы совершенно правы. Это парабола, которая получается из параболы y = x2 параллельным переносом. Ветви параболы y = ax2 + bx + c будут направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0.
Осью симметрии параболы y = ax2 + bx + c является прямая x = – b/2a, координаты вершины параболы вычисляются по следующим формулам: x0 = – b/2a, y0 = f(x0).  

Учитель: Итак, используя раннее полученные знания и знания, полученные сегодня на уроке, мы сможем построить график любой квадратичной функции.   Построить график функции y = 3x2 – 6x + 1.

Задание №1. Построить график функции y = 3x2 – 6x + 1. 

Ученики: (один ученик выполняет у доски, остальные на своих местах).

График функции  y = 3x2 – 6x + 1 – парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. a = 3 > 0.
Найдем координаты вершины параболы: x0 = – b/2a, x0 = 1, y0 = f(x0), y0 = f(1) = 3 • 12 – 6 • 1 + 1 = – 2. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; – 2).
Ось симметрии параболы – прямая x= 1.
Построим несколько дополнительных точек, симметричных друг другу относительно оси параболы:

x 0 2 –1 3
y 1 1 10 10

Соединим полученные точки плавной линией, получим график данной функции.

Учитель: Итак, график функции построен. По сути мы построили график функции, используя правило построения графика квадратичной функции, которое называется алгоритмом построения параболы y = ax2 + bx + c. Давайте рассмотрим его. Учебник алгебры стр: 125. (работа с учебником).

Учитель: Итак, ребята, как вы считаете, мы строили график функции y = 3x2 – 6x + 1 так, как это прописано в алгоритме или нет?

Учащиеся: Да.

Учитель: Абсолютно верно, мы использовали при построении графика функции именно этот алгоритм. И в будущем будем пользоваться им. Следующее задание: прочитайте график функции y = 3x2 – 6x + 1, т.е. перечислите по графику свойства функции y = 3x2 – 6x + 1.    

Учащиеся: по одному читают свойства функции по построенному графику:
– область определения функции;
– область значений функции;
– промежутки возрастания и убывания функции;
– наименьшее и наибольшее значения функции;
– наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: [0;3].
– и др.

4. Закрепление изученного материала при решении упражнений из задачника: № 22.1 (а,б), № 22.2 (а,б), № 22.5 (а,б), № 22.7 (б). (Коллективная работа).

5. Физкультминутка

6. Проверочная работа по изученному материалу:

Вариант 1 Вариант 2
Задание №1

Какая из данных функций является квадратичной:

а) y = 5x2 – 3x + 2;
б) y = –2x2 + 7x;
в) y = 5x – 1;
г) y = –7x.

 Задание №1

Какая из данных функций является квадратичной:

а) y = – 2,5x + 11;
б) y = 5x2;
в) y = 3x;
г) y = – 2x2 + 3x – 1.
Задание №2

Укажите коэффициенты a, b  и  c квадратичной функции:

а) y = – 0,5x2 + 2x – 1;
б) y = 4x2 – 3x;
в) y = 5x2 + 2;
г) y = –3x + 1/2 + 4x2.

 Задание №2

Укажите коэффициенты a, b  и  c квадратичной функции:

а) y = 5x2 – 3x + 2;
б) y = –2x2 + 7x;
в) y = 0,5x2 – 2;
г) y = 2/5x + 0,3 – 1/6x2.
Задание №3

Составьте квадратный трёхчлен y = ax2 + bx + c, у которого a = 2, b = – 1, c = 4.

 Задание №3

Составьте квадратный трёхчлен y = ax2 + bx + c, у которого a = – 1, b = 7, c = 0.
Задание №4

Найдите координаты вершины параболы. Напишите уравнение оси симметрии параболы:
y = – 3x2 – 6x + 2.

 Задание №4

Найдите координаты вершины параболы. Напишите уравнение оси симметрии параболы:
y = 4x2 + 8x – 1.

Задание №5

Постройте график функции: y = – 3x2 – 6x + 2. 

 Задание №5

Постройте график функции: y = 4x2 + 8x – 1.

7. Взаимоконтроль в парах (ответы на экране)

Вариант 1 Вариант 2
Задание №1

а)
б)

 Задание №1

б)
г)

Задание №2

Укажите коэффициенты a, b  и c квадратичной функции:

а) a = – 0,5, b = 2, c = –1;
б) a = 4, b = –3, c = 0; 
в) a = 5, b = 0, c = 2;
г) a = 4, b = –3, c = 1/2.

 Задание №2

Укажите коэффициенты a, b  и  c квадратичной функции:

а) a = 5, b = – 3, c = 2;
б) a = –2, b = 7, c = 0;
в) a = 0,5, b = 0, c = – 2;
г) a = – 1/6, b = 2/5, c = 0,3.
Задание №3

2x2 – x + 4.

 Задание №3

– x2 + 7x.
Задание №4

Вершина параболы:  (– 1; 5);
Ось симметрии параболы: x = – 1.

 Задание №4

Вершина параболы:  (– 1; – 5);
Ось симметрии параболы: x = – 1.

Задание №5

 Задание №5

Учитель: Критерии оценивания вы видите на экране:

Оценка «5» – за верно выполненные пять заданий;
Оценка «4» – за верно выполненные любые четыре задания;
Оценка «3» – за верно выполненные любые три задания;
Оценка «2» – в любом другом случае.

Учащиеся: проверяют друг у друга работы, выставляют предварительные оценки. Учитель собирает тетради на проверку.  

Учитель: Итак, что вы сегодня узнали на уроке нового? Где вы сможете применить эти знания?

Учащиеся: отвечают на поставленные учителем вопросы.

8. Домашнее задание

§22 с.120-126, опорный конспект, № 22.5 (в,г), № 22.6 (в, г);
проект-исследование: на примере какой – нибудь конкретной квадратичной функции составить проект: построение графика функции и исследование её свойств (в качестве примера квадратичной функции использовать № 22.7, №22.8).

9. Рефлексия

Учитель: Ребята, используя рефлексивный экран, каждый из вас, выскажите, пожалуйста, своё мнение о нашем уроке, дополнив понравившиеся вам фразы своими мыслями.

У детей на столах отпечатаны карточки в виде парабол с фразами, они заполняют их и прикрепляют на доске в прямоугольной системе координат.
Ребята записывают на своих карточках, некоторые из них читают, что у них получилось, а затем все прикрепляют свои параболы магнитиками к доске.

  • сегодня я узнал…
  • было интересно…
  • было трудно…
  • я выполнял задания…
  • я понял, что…
  • теперь я могу…
  • я научился…
  • я смог…
  • я попробую…
  • меня удивило…
  • урок дал мне для жизни…
  • мне захотелось…

 Учитель: Спасибо за урок!

Использованные материалы и интернет-ресурсы.

  1. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/  А.Г. Мордкович. – 15-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013.
  2. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/  [А.Г. Мордкович. и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 15-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013.
  3. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8-го класса. – М.: Илекса, 2005.
  4. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл.– М.: Просвещение, 2007.
  5. Кочагина М.Н. Математика: 9 класс: Подготовка к «малому ЕГЭ»– М.: Эксмо, 2007.
  6. Материалы  газеты «Первое сентября», 2008-2013гг.
  7. https://urok.1sept.ru/.